On tombe sur l’inversion d’une matrice 2×2 dès qu’on résout un système linéaire de deux équations à deux inconnues, qu’on cherche une matrice de passage ou qu’on manipule des suites récurrentes matricielles. La bonne nouvelle, c’est qu’en dimension 2, une formule directe évite la méthode de Gauss-Jordan. Encore faut-il ne pas mélanger les étapes, surtout sous pression en contrôle ou en colle.
Conditionnement d’une matrice 2×2 : le piège que le calcul à la main ne montre pas
Avant de poser la moindre formule, un réflexe utile consiste à regarder la taille du déterminant par rapport aux coefficients. Une matrice dont le déterminant est techniquement non nul mais très proche de zéro produit une inverse aux coefficients gigantesques. En pratique, un déterminant proche de zéro rend l’inverse numériquement instable.
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Ce phénomène s’appelle le mauvais conditionnement. Il est traité dans des séminaires de mathématiques appliquées, notamment à l’Université de Reims, où l’on étudie la sensibilité de la matrice inverse. Sur une copie, le calcul tombe juste. Sur un tableur ou dans un code Python, les erreurs d’arrondi explosent.
Prenons la matrice A avec les coefficients a = 1, b = 2, c = 2, d = 4,0001. Le déterminant vaut 0,0001. L’inverse existe, mais chaque coefficient de A⁻¹ se compte en dizaines de milliers. La moindre imprécision sur une entrée fait basculer le résultat. Quand on rencontre ce cas dans un exercice, il faut le signaler explicitement.
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Formule d’inversion d’une matrice 2×2 : les quatre étapes concrètes
Soit A une matrice 2×2 de coefficients a, b (première ligne) et c, d (seconde ligne). L’inverse de A, notée A⁻¹, se calcule avec la formule directe :
A⁻¹ = (1 / det(A)) multiplié par la matrice [d, -b ; -c, a].
Le déterminant det(A) vaut ad – bc. Si le déterminant est nul, la matrice n’est pas inversible et le calcul s’arrête là.
Voici la marche à suivre, dans l’ordre où on la pose sur la copie :
- Calculer le déterminant ad – bc et vérifier qu’il est différent de zéro.
- Échanger a et d (les éléments de la diagonale principale) pour former la comatrice transposée.
- Changer le signe de b et de c (les éléments hors diagonale).
- Multiplier chaque coefficient de la nouvelle matrice par 1/det(A), c’est-à-dire diviser par le déterminant.
L’erreur la plus fréquente : inverser les signes de a et d au lieu de ceux de b et c. On échange la diagonale, on change les signes de l’anti-diagonale. Pas l’inverse.
Exemple corrigé avec des coefficients entiers simples
Posons A = [2, 3 ; 1, 4]. C’est un classique de colle en CPGE.
Calcul du déterminant
det(A) = 2 x 4 – 3 x 1 = 8 – 3 = 5. Le déterminant vaut 5, donc la matrice A est inversible.
Construction de l’inverse
On échange 2 et 4, on change les signes de 3 et 1. On obtient la matrice [4, -3 ; -1, 2]. On divise chaque terme par 5 :
A⁻¹ = [4/5, -3/5 ; -1/5, 2/5].
Vérification par le produit A x A⁻¹
Pour vérifier, on calcule A x A⁻¹. Première ligne, premier coefficient : 2 x 4/5 + 3 x (-1/5) = 8/5 – 3/5 = 5/5 = 1. Première ligne, second coefficient : 2 x (-3/5) + 3 x 2/5 = -6/5 + 6/5 = 0. On obtient bien la matrice identité. Toujours vérifier le produit pour valider l’inverse.
Exemple corrigé avec des coefficients fractionnaires
Posons B = [1/2, 3 ; -1, 4]. Ce type de matrice apparaît dans les exercices de Terminale Maths Expertes et déstabilise parce qu’on hésite sur la gestion des fractions.
Déterminant de B
det(B) = (1/2) x 4 – 3 x (-1) = 2 + 3 = 5. Là encore, le déterminant vaut 5.
Application de la formule
On échange 1/2 et 4, on change les signes de 3 et -1. La comatrice transposée donne [4, -3 ; 1, 1/2]. On divise par 5 :
B⁻¹ = [4/5, -3/5 ; 1/5, 1/10].
L’astuce pour ne pas se tromper avec les fractions : calculer d’abord le déterminant sous forme de fraction irréductible, puis traiter la division coefficient par coefficient. Poser toutes les fractions sur le même dénominateur avant de simplifier évite les erreurs de signe.
Cas de la matrice non inversible : repérer le déterminant nul
Posons C = [2, 4 ; 1, 2]. Le déterminant vaut 2 x 2 – 4 x 1 = 4 – 4 = 0.
On ne peut pas diviser par zéro, donc C n’admet pas d’inverse. Géométriquement, les deux lignes de C sont proportionnelles (la première est le double de la seconde). La matrice écrase le plan sur une droite, et cette transformation n’est pas réversible.
Dans un exercice, quand le déterminant tombe sur zéro, on rédige une phrase de conclusion : « det(C) = 0 donc C n’est pas inversible. » Ne pas tenter de forcer le calcul.
Lien entre inversion 2×2 et matrices de rotation
Les matrices de rotation du plan sont un cas particulier intéressant. Elles prennent la forme [cos θ, -sin θ ; sin θ, cos θ]. Leur déterminant vaut cos²θ + sin²θ = 1, quel que soit l’angle θ. Elles sont donc toujours inversibles, et leur inverse est leur transposée.
Concrètement, pour inverser une matrice de rotation, on n’a même pas besoin de la formule générale : il suffit d’échanger les lignes et les colonnes. L’inverse de la rotation d’angle θ est la rotation d’angle -θ, ce qui colle avec l’intuition géométrique.
Ce raccourci ne fonctionne que pour les matrices orthogonales. Appliquer la transposée sur une matrice 2×2 quelconque ne donne pas son inverse.
La formule d’inversion en dimension 2 reste un outil rapide tant qu’on respecte l’ordre des opérations : déterminant d’abord, échange de la diagonale ensuite, changement de signe sur l’anti-diagonale, division par le déterminant. En colle ou en examen, le produit de vérification A x A⁻¹ = I prend trente secondes et rattrape la majorité des étourderies. Sur des matrices proches de la singularité, garder en tête que le résultat formel peut masquer une instabilité numérique réelle.
